Dans cette thèse, nous étudions un réseau neuronal spatialement organisé, c'est-à-dire que les interactions entre deux neurones ne dépendent que de leurs positions. Si nous ne considérons qu'un nombre relativement restreint de cellules, l'activité électrique de chaque neurone peut être modélisée grâce au système de FitzHugh-Nagumo. Toutefois, si nous cherchons à étudier le comportement collectif d'un groupe de neurones plus nombreux, il devient essentiel de trouver d'autres modèles, correspondant à une échelle d'observation plus grande. L'objectif de cette thèse est donc d'établir un lien mathématique rigoureux entre le modèle microscopique de FitzHugh-Nagumo, et des modèles macroscopiques qui donnent l'évolution des quantités électriques moyennes à chaque position dans le réseau.
La première étape de notre stratégie consiste à établir un lien rigoureux entre le modèle microscopique et un modèle intermédiaire, en faisant tendre le nombre de neurones vers l'infini. Nous obtenons une équation à dérivées partielles qui donne l'évolution de la densité de probabilité de trouver des neurones à chaque instant en fonction de leur position et de leur potentiel de membrane. Elle décrit alors une échelle mésoscopique d'observation du réseau.
Ensuite, nous étudions les valeurs électriques moyennes calculées à partir du modèle mésoscopique. Afin de trouver un système d'équations satisfait par ces quantités macroscopiques, nous considérons le cas où les interactions locales entre neurones sont fortes. Pour cela, nous proposons deux redimensionnements possibles. En utilisant une méthode d'entropie relative, nous établissons un lien mathématique entre le modèle intermédiaire et un système de réaction-diffusion. Le terme de diffusion sera local ou non local en espace, selon le redimensionnement que nous aurons choisi.
Enfin, nous attaquons l'étude de ce dernier changement d'échelle du point de vue de l'analyse numérique. En particulier, nous présentons une discrétisation du modèle mésoscopique qui préserve l'asymptotique dans le régime des interactions locales fortes. Ainsi, nous sommes capables d'estimer des vitesses de convergence et d'observer des dynamiques du modèle intermédiaire. |
In this thesis, we study a spatially organised neuronal network, that is the interactions between two neurons only depend on their positions. If we only consider a relatively small number of cells, the electric activity of each neuron can be modeled with the FitzHugh-Nagumo system. Yet, if we attempt to study the collective behaviour of a more sizeable assembly of neurons, we must find other models, corresponding to a larger scale of observation. Thus, the purpose of this thesis is to establish a rigourous mathematical link between the microscopic FitzHugh-Nagumo model, and macroscopic models which account for the evolution of average electrical quantities at any position in the network.
The first step of our strategy consists in deriving a rigourous link between the microscopic model and an intermediary model as the number of neurons tends to infinity. We obtain a partial differential equation, which gives the evolution of the probability density of finding neurons at any time depending on their position and membrane potential. Therefore, it describes a mesoscopic scale of observation of the network.
Then, we study the average electrical quantities computed from the mesoscopic model. In order to find a system of equations satisfied by these macroscopic quantities, we consider the regime of strong local interactions. To do so, we provide two different ways of rescaling. Using a relative entropy method, we find a mathematical link between the intermediary model and a reaction-diffusion system. Depending on the rescaling we choose, the diffusion term can be local or non local in space.
Finally, we tackle the study of this last change of scale from a numerical analysis viewpoint. In particular, we introduce a discretization of the mesoscopic model which is asymptotic preserving in the regime of strong local interactions. Hence, we can numerically estimate rates of convergence, and we observe some dynamics of the intermediary model. |