La thèse a pour objectif le développement de méthodes performantes pour la résolution de problèmes non-linéaires en mécanique des solides. Il est coutume d'utiliser une méthode de type Newton qui conduit à la résolution d'une séquence de systèmes linéaires. De plus, la prise en compte des relations linéaires imposées à l'aide de multiplicateurs de Lagrange confère aux matrices une structure de point-selle.
Dans un cadre plus général, nous proposons, étudions et illustrons deux classes d'enrichissement de préconditioneurs (Limited Memory Preconditioners) pour la résolution de séquences de systèmes linéaires par une méthode de Krylov. La première est une extension au cas symétrique indéfini d'une méthode existante, développée initialement dans le cadre symétrique défini positif. La seconde est plus générale dans le sens où elle s'applique aux systèmes non symétriques. Ces deux familles peuvent être interprétées comme des variantes par blocs de formules de mise à jour utilisées dans différentes méthodes d'optimisation. Ces techniques ont été développées dans le logiciel de mécanique des solides Code_Aster (dans un environnement parallèle distribué via la bibliothèque PETSc) et sont illustrées sur plusieurs études industrielles. Les gains obtenus en terme de coût de calcul sont significatifs (jusqu'à 50%), pour un surcoût mémoire négligeable. |
The thesis aims at developing efficient numerical methods to solve nonlinear problems arising in solid mechanics. In this field, Newton methods are currently used, requiring the solution of a sequence of linear systems. Furthermore, the imposed linear relations are dualized with the Lagrange multiplier method, leading to matrices with a saddle point structure.
In a more general framework, we propose two classes of preconditioners (named Limited Memory Preconditioners) to solve sequences of linear systems with a Krylov subspace method. The first class is based on an extension of a method initially developed for symmetric positive definite matrices
to the symmetric indefinite case. The second class handles the more general case related to nonsymmetric matrices. Both families can be interpreted as block variants of updating formulas used in numerical optimization. They have been implemented into the Code_Aster solid mechanics software (in a parallel distributed environment using the PETSc library). These new preconditioning strategies are illustrated on several industrial applications. We obtain significant gains in computational cost (up to 50%) at a marginal overcost in memory. |