L'astérosismologie a pour but de déduire les propriétés internes des étoiles à partir de la mesure de leurs
fréquences d'oscillation.
L'analyse du spectre d'oscillation peut-être facilitée par une information a priori sur la structure de
celui-ci obtenue grâce à une formule asymptotique.
Jusqu'à maintenant, la seule formule asymptotique disponible était limité aux étoiles à symétrie
sphérique.
Or, pour une étoile en rotation rapide, la force centrifuge a un effet d'aplatissement sur l'étoile, et la
formule asymptotique ne peut donc pas être appliquée.
Pourtant, les étoiles pulsantes en rotation rapide sont communes dans notre galaxie, en particulier
parmi les étoiles massives et de masses intermédiaires, et sont donc présentes en nombre dans les
données des missions spatiales dédiées à l'astérosismologie que sont CoRoT et Kepler.
Dans le domaine du chaos quantique, des outils ont été développés pour trouver des expressions
approchées ou statistiques des niveaux d'énergie et fonctions d'onde de système quantiques complexes.
Un exemple typique d'un tel système est un système quantique dont la limite classique est chaotique.
Les concepts du chaos quantique reposent en fait sur la nature ondulatoire des systèmes quantiques
auxquels il s'applique. Ceci a permis d'utiliser ces concepts pour d'autres types d'ondes tels que les
ondes élastiques ou électromagnétiques se propageant dans des milieux désordonnés ou à géométrie
complexe.
Le but de cette thèse est donc d'utiliser les techniques du chaos quantique pour obtenir des informations
sur les modes de pression des étoiles en rotation rapide.
La limite des petites longueurs d'onde des ondes de pression, aussi appelée limite des rayons
acoustiques, peut-être décrite par un système dynamique Hamiltonien.
Ce système passe, lorsque l'on augmente la vitesse de rotation d'un modèle d'étoile, d'un système
intégrable à un système mixte, où des régions stables et chaotiques coexistent dans l'espace des phases.
Il est connu en chaos quantique qu'à chaque région de l'espace des phases peut être associé un sous-
spectre défini, ainsi que des fonctions d'onde asymptotiquement localisées dans cette région.
Les modes dont la limite des rayons appartient à une zone stable de l'espace des phases possèdent
typiquement des fréquences espacées régulièrement.
Dans cette thèse, nous montrons comment obtenir une formule semi-analytique pour ces espacements
de fréquences dans le cas des modes de pression d'étoiles en rotation.
Nous avons adapté à ce système la méthode de l'équation parabolique, qui a été appliqué précédemment
à des systèmes d'ondes électromagnétiques dans des cavités diélectriques, ou des résonateurs
électroniques sous champ magnétique.
La formule semi-analytique obtenue dépend des propriétés dynamiques des trajectoires périodiques
stables, que l'on calcule en intégrant numériquement les équations de la dynamique des rayons.
Pour vérifier les résultats de cette formule, nous avons effectué des simulations numériques complètes
et précises de modes d'oscillations dans des modèles polytropiques d'étoile : un bon accord avec la
théorie a été obtenu pour une large gamme de vitesses de rotation.
Comme notre théorie relie les espacements réguliers de fréquences d'oscillations aux quantités
physique internes des étoiles, ce travail devrait fournir un nouveau type d'outil théorique pour
l'interprétation des spectres d'oscillations d'étoiles en rotation rapide. |
Asteroseismology aims at inferring internal properties of stars from their oscillation mode frequencies.
The analysis of the oscillation spectrum can be greatly facilitated by an a priori information on its basic
structure given by an asymptotic formula.
Up to now, the only existing asymptotic formula was derived in the spherically symmetric case.
For a rapidly rotating star this symmetry is broken by the centrifugal force, that is the star is flattened
by rotation, and thus an adequate asymptotic theory was missing.
Yet, rapidly rotating oscillating stars are common among intermediate mass and massive stars, and thus
also in the data of asteroseismology space missions CoRoT and Kepler.
In the field of quantum chaos, researchers have developed tools to find approximate and statistical
formulas for energy levels and eigenfunctions of complex quantum systems, in particular for quantum
systems whose classical limit is chaotic.
Concepts of quantum chaos essentially rely on the wave-like nature of a system; they were thus also
successfully applied to classical waves (electromagnetic and elastic) propagating in disordered media
or complex geometries.
The aim of this PhD thesis is to use techniques from quantum chaos in order to obtain information on
the pressure oscillations of rapidly rotating stars.
The short-wavelength (ray) limit of pressure waves can be described by a Hamiltonian dynamical
system that undergoes a transition, as the rotation rate of the star increases, from an integrable to a
mixed system where stable and chaotic regions coexist in phase space.
It is known from previous works in quantum chaos that to each phase space region is associated a well-
defined subset of the spectrum as well as eigenfunctions localized inside this region in the short-
wavelength limit.
The modes whose ray limit belongs to a stable region are expected to show regular frequency spacings
and eigenfunctions. In this thesis, it is shown how to obtain a semi-analytical formula for the regular
frequency spacings of pressure modes in rotating stars by using an approximation known as the
parabolic equation method, that was applied previously to light in dielectric cavities and electronic
resonators in a magnetic field, and that we adapted to our system.
The semi-analytical formula for frequencies depends on dynamical properties of stable periodic
trajectories, that are computed by integrating numerically the ray equations.
In order to verify the results of the semi-analytical formula, we performed accurate numerical
computations of oscillation modes in polytropic stellar models: it was found that the semi-analytical
formula and full numerical computations are in good agreement over a large range of rotation rates.
Given that the semi-analytical formula relates regular frequency spacings to physical properties of the
star, this work should provide a new set of theoretical tools to interpret oscillation spectra of rapidly
rotating stars. |