Cette thèse étudie la stabilité et les performances de systèmes issus de l’interconnexion en boucle fermée d’équations différentielles ordinaires (EDO) et d’équations aux dérivées partielles (EDP). De tels systèmes couplés apparaissent naturellement dans de nombreuses applications ; on peut citer, par exemple, les systèmes avec retard de communication ou la régulation de température par un contrôleur en rétroaction. L’analyse repose sur les Contraintes Quadratiques Intégrales (Integral Quadratic Constraints, IQCs) et les Inégalités Matricielles Linéaires (Linear Matrix Inequalities, LMIs), qui permettent d’obtenir des conditions vérifiables de manière numériquement efficace.
La première contribution étend une méthodologie fondée sur la projection, initialement développée pour les systèmes à retard, aux EDP paraboliques telles que l’équation de la chaleur couplée à des EDO aux frontières. L’état de l’EDP est projeté sur une base de polynômes (plusieurs bases polynomiales sont étudiées), tandis que l’inégalité de Bessel est utilisée pour borner l’énergie du reste non représenté. Cette approche conduit à une hiérarchie de conditions LMI indexées par l’ordre de projection $N$ : lorsque $N$ augmente, les certificats de stabilité deviennent moins conservateurs. La méthode est appliquée à des équations de la chaleur couplées à des EDO.
La deuxième contribution développe un cadre de modélisation descriptor pour des systèmes incertains de dimension finie dépendant de plusieurs paramètres, par exemple des systèmes dépendant à la fois du temps et d’une incertitude scalaire. Les équations du système et les relations décrivant les incertitudes sont regroupées dans une représentation descriptor affine à lignes découplées. Des conditions basées sur les S-variables sont alors dérivées afin de tester la stabilité robuste et les performances sur l’ensemble du domaine d’incertitude. Afin de réduire le conservatisme, des techniques de relèvement (lifting) sont introduites : des variables auxiliaires enrichissent le vecteur descriptor et conduisent à des conditions LMI moins conservatrices. Le nombre de LMIs à résoudre reste fixé par le nombre de sommets de l’ensemble d’incertitude, tandis que la taille de chaque LMI n’augmente que modérément avec la dimension du relèvement. Ce cadre simplifié sert de banc d’essai pour les outils ensuite étendus aux systèmes EDP–EDO dans la troisième contribution.
La dernière contribution étend le cadre de modélisation descriptor aux systèmes couplés EDP–EDO. L’approche est validée sur une EDP de transport indépendante du retard couplée à une EDO, pour laquelle la structure descriptor permet de retrouver une condition de stabilité déjà connue dans la littérature. L’extension de cette construction aux EDP dépendantes du retard ainsi qu’à d’autres classes de systèmes distribués, telles que les équations de la chaleur, en incorporant des projections de Legendre et des inégalités de type Bessel pour borner le reste négligé, est présentée comme une perspective d’extension : les conditions LMI correspondantes, dont le conservatisme devrait diminuer lorsque l’ordre de projection augmente et qui permettraient de relier directement ce cadre à la première contribution, n’ont pas encore été dérivées ni validées numériquement et constituent un travail en cours. |
This thesis investigates stability and performances of systems formed by the feedback interconnection of ordinary differential equations (ODEs) and partial differential equations (PDEs). Such coupled systems appear naturally in many applications; examples may include communication delays, or temperature regulation by a feedback controller. The analysis relies on Integral Quadratic Constraints (IQCs) and Linear Matrix Inequalities (LMIs), which provide conditions that are computationally tractable.
The first contribution extends a projection-based methodology, used to build filters, originally developed for time-delay systems, to parabolic PDEs such as heat equations coupled to ODEs at the boundary. The PDE state is projected onto a polynomial basis (different polynomial bases are tested), and Bessel's inequality is used to bound the energy of the discarded remainder. This produces a hierarchy of LMI conditions indexed by the projection order $N$: increasing $N$ gives less conservative stability certificates. The method is applied to heat equations coupled to ODEs.
The second contribution develops a descriptor modeling framework for finite-dimensional uncertain systems that depend on more than one parameter, such as systems that are both time-varying and dependent of a scalar uncertainty. The system equations and the uncertainty relations are gathered into an affine row decoupled descriptor representation. S-variable conditions are then derived to test robust stability and performance over the full uncertainty set. To reduce conservatism, lifting techniques are introduced: auxiliary variables expand the descriptor vector, leading to tighter LMI conditions. The number of LMIs to solve remains fixed by the number of vertices of the uncertainty set, while the size of each LMI grows modestly with the lifting dimension. This simplified framework serves as a testing ground for the tools extended to PDE-ODE systems in the third contribution.
The last contribution extends the descriptor modeling framework to coupled PDE-ODE systems. The approach is validated on a delay-independent transport PDE coupled to an ODE, for which the descriptor structure recovers a known stability condition from the literature. Extending this construction to delay-dependent PDEs and to other classes of distributed systems, such as heat equations, by incorporating Legendre projections and Bessel-type inequalities to bound the discarded remainder, is presented as an extension: the corresponding LMI conditions, whose conservatism is expected to decrease as the projection order increases and which would connect this framework directly to the first contribution, have not yet been derived or validated numerically, and are left as work in progress. |