La cristallisation de Wigner, proposée en 1934, prédit que dans un liquide électronique de densité suffisamment faible, lorsque le potentiel coulombien domine l'énergie cinétique, les électrons s'organisent en une structure ordonnée. Le paramètre déterminant est le rayon de Wigner-Seitz rs, la distance typique entre deux électrons en unités du rayon de Bohr ; le régime cristallin correspond à rs >> 1, où la répulsion coulombienne domine l'énergie cinétique. Ce travail est motivé par une expérience récente dans laquelle deux à six électrons injectés dans un nanotube de carbone ont été imagés sous la forme d'une chaîne localisée, sans que leurs positions en soient sensiblement perturbées. La possibilité de mesurer la position d'électrons localisés ouvre la voie à l'estimation de la constante d'interaction d'échange magnétique J. L'objectif de la thèse est de calculer, par des méthodes ab initio, la distribution de charge et le couplage d'échange magnétique de N électrons confinés dans un système unidimensionnel fini.
Dans la première méthode, nous obtenons une expression analytique du couplage d'échange d'un dimère de Wigner à deux électrons confinés dans un espace unidimensionnel, dans la limite de faible densité rs >> 1. Dans ce cas, J s'obtient à partir de la différence entre les états singulet et triplet les plus bas. Nous abordons ce problème par deux approches. La première repose sur la solution analytique de l'équation de Schrödinger pour N = 2, en supposant fixe le centre de masse des deux particules. Avec cette approximation, le problème initial se ramène à une équation différentielle du second ordre, résolue en termes de fonctions de Whittaker. L'analyse des deux fonctions propres montre que, à l'ordre dominant, l'écart décroît exponentiellement avec la racine carrée de la distance entre les électrons. Nous montrons que la correction exponentielle sous-dominante augmente notablement cet écart. La seconde approche est fondée sur l'approximation quasi-classique, ou de Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB). Avec l'approximation du centre de masse, le problème initial se réduit à une seule particule quantique dans un double puits de potentiel symétrique à murs durs. Le couplage d'échange J est alors donné par la différence entre les deux premiers états excités de ce nouveau problème. Nous constatons que les deux méthodes donnent des résultats identiques dans la région de recouvrement.
Dans la seconde méthode, nous modélisons le dispositif expérimental à l'aide de la masse électronique effective mesurée et d'un potentiel coulombien régularisé, adapté à la description de l'écrantage électronique dans un nanotube. Nous représentons l'hamiltonien dans une base de déterminants de Slater et effectuons une interaction de configuration complète afin de capturer toute la corrélation électronique pour une base donnée. Comme base à une particule, nous utilisons les fonctions d'onde de la particule dans une boîte, qui satisfont par construction aux conditions aux limites. Cette approche nous permet d'obtenir des profils de densité électronique précis pour de petits cristaux de Wigner unidimensionnels de N = 2 à N = 4 électrons. Ces profils mettent clairement en évidence la localisation des électrons. Enfin, nous présentons une approche simple pour obtenir la constante de couplage d'échange, en projetant notre méthode ab initio sur un hamiltonien de Heisenberg. Nous illustrons cette approche sur un dimère de Wigner et obtenons un excellent accord avec un résultat de la littérature.
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Wigner crystallization, proposed in 1934, predicts that in an electronic liquid at sufficiently low density, where the Coulomb potential dominates the kinetic energy, the electrons arrange themselves into an ordered structure. The governing parameter is the Wigner-Seitz radius rs, the typical distance between two electrons in units of the Bohr radius; the crystal regime is rs >> 1, where Coulomb repulsion dominates the kinetic energy. The work is motivated by a recent experiment in which two to six electrons injected into a carbon nanotube were imaged as a localized chain without appreciably disturbing their positions. Being able to measure the positions of localized electrons opens the way to estimating the magnetic exchange interaction constant J. The objective of the thesis is to calculate the charge distribution and the magnetic exchange coupling of N electrons confined to a finite one-dimensional system using ab initio methods.
In the first method, we obtain an analytical expression for the exchange coupling of a two-electron Wigner dimer confined to a one-dimensional space in the low-density limit rs >> 1. In this case, J can be obtained from the difference between the lowest singlet and triplet states. We tackle this problem using two approaches. The first relies on the analytical solution of the Schrödinger equation for N = 2, assuming the center of mass of the two particles to be fixed. With this approximation, the original problem becomes a second-order differential equation, which is solved in terms of Whittaker functions. From the analysis of the two eigenfunctions, we find that the splitting decays exponentially with the square root of the distance between the electrons at leading order. We show that the subleading exponential correction significantly increases the splitting. The second approach is based on the quasiclassical, or Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB), approximation. With the center-of-mass approximation, the original problem reduces to a single quantum particle in a symmetric double-well potential with hard walls. The exchange coupling J is then given by the difference between the first two excited states of the new problem. We find that the two methods give identical results in the overlapping region.
In the second method, we model the experimental setup using the measured effective electronic mass and a regularized Coulomb potential suitable for representing electronic screening in a nanotube. We represent the Hamiltonian in a basis of Slater determinants and perform full configuration interaction in order to capture all electron correlation for a given basis set. As the one-particle basis set, we use particle-in-a-box wave functions, which by construction satisfy the boundary conditions. With this approach, we obtain accurate electronic density profiles of small one-dimensional Wigner crystals of N = 2 to N = 4 electrons. These profiles clearly show the localization of the electrons. Finally, we present a simple approach for obtaining the exchange coupling constant by mapping our ab initio method onto a Heisenberg Hamiltonian. We illustrate our approach on a Wigner dimer and obtain excellent agreement with a result from the literature.
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