Motivée par les profondes analogies entre les probabilités classique et libre, cette thèse développe un cadre pour l’entropie, l’information de Fisher et les inégalités fonctionnelles en théorie des probabilités booléennes, fondée sur la notion d’indépendance booléenne. L’objectif principal est d’établir des analogues booléens de plusieurs résultats fondamentaux de la théorie classique et libre de l’information.
En suivant l’approche de Voiculescu pour l’entropie libre, nous introduisons au Chapitre 2 une notion d’entropie booléenne à travers des principes de grandes déviations pour deux modèles de matrices aléatoires de type gaussien présentant une indépendance booléenne asymptotique : le modèle des blocs symétriques et le modèle GUE conditionné. Nous montrons que les fonctions de taux associées coïncident à une constante de normalisation près et sont minimisées par la loi de Rademacher. Nous étudions également les grandes déviations correspondantes sous des potentiels généraux. Enfin, nous établissons une propriété de monotonie de l’entropie booléenne le long du théorème central limite booléen.
Au Chapitre 3, en utilisant une identité de de Bruijn booléenne, nous définissons l’information de Fisher booléenne ainsi que sa version relative par rapport au potentiel quadratique. Nous établissons plusieurs propriétés informationnelles analogues à celles des cadres classique et libre, telles que l’inégalité de Stam et la monotonie le long du théorème central limite booléen. De plus, nous démontrons des versions booléennes des inégalités logarithmiques de Sobolev et de transport associées au potentiel quadratique. Nous développons également une approche non micro-états de l’entropie et de l’information de Fisher booléennes, pour laquelle des résultats analogues restent valables. Enfin, nous introduisons les noyaux de Stein booléens et les discrépances de Stein, et nous étudions leurs liens avec les inégalités d’entropie et d’information de Fisher. |
Motivated by the deep analogies between classical and free probability, this thesis develops a framework for entropy, Fisher information, and functional inequalities in Boolean probability theory, which is based on the notion of Boolean independence. The main objective is to establish Boolean counterparts of several fundamental results from classical and free information theory.
Following Voiculescu’s approach to free entropy, we introduce in Chapter 2 a notion of Boolean entropy through large deviation principles for two Gaussian-type random matrix models exhibiting asymptotic Boolean independence: the Symmetric Block model and the Conditioned GUE model. We prove that the associated rate functions coincide up to a normalization constant and are minimized by the Rademacher law. We further study the corresponding large deviations under general potentials. Lastly, we establish a monotonicity property of Boolean entropy along the Boolean central limit theorem.
In Chapter 3, using a Boolean de Bruijn identity, we define Boolean Fisher information and its relative version with respect to the quadratic potential. We establish several information-theoretic properties analogous to those in the classical and free settings, such as the Stam inequality and monotonicity along Boolean central limit theorem. Moreover, we prove Boolean versions of logarithmic Sobolev (in short log Sobolev) and transport inequalities with quadratic potential. We also develop a non-microstates approach to Boolean entropy and Fisher information, for which analogous results remain valid. Finally, we introduce Boolean Stein kernels and Stein discrepancies, and investigate their relationships with entropy and Fisher information inequalities. |