Dans cette thèse, nous avons étudié la structure de l'intrication et des témoins d'intrication dans les états quantiques symétriques bipartites et multipartites, en les reliant à divers sujets de géométrie algébrique réelle, de théorie des graphes, d'analyse tensorielle et d'optimisation polynomiale.
Premièrement, nous considérons les propriétés d'intrication des états quantiques possédant une invariance cyclique de signe, et caractérisons la géométrie des états séparables et PPT dans le sous-espace bosonique. Cela est réalisé en étudiant les matrices circulantes complètement positives et les matrices doublement non négatives pour~$d=5$, avec des avancées partielles pour~$d=6$ et~$d=7$, mettant en évidence la riche structure géométrique de ces états. Une nouvelle classe d'états quantiques a été identifiée, pour laquelle les propriétés PPT et de séparabilité peuvent être caractérisées en toute dimension.
Deuxièmement, nous examinons certaines constructions d'états intriqués PPT utilisant des matrices non engendrées par des matrices de rang~1 dans les ensembles de matrices doublement non négatives, de corrélation et de matrices creuses semi-définies positives.
Troisièmement, nous étudions la propriété de positivité des applications quantiques DUC (covariantes par transformations unitaires diagonales). Après avoir analysé certaines propriétés structurelles des paires de matrices qui paramétrisent ces applications, nous présentons une nouvelle construction d'application positive indécomposable utilisant des matrices copositives. Nous fournissons des exemples explicites en construisant des applications fondées sur des graphes, et caractérisons les propriétés de décomposabilité et de positivité en fonction des paramètres du graphe. L'extensibilité bosonique de mélanges d'états de Dicke a également été analysée à l'aide de hiérarchies SOS pour les matrices copositives.
Enfin, nous étudions l'intrication dans les mélanges multipartites d'états de Dicke en traduisant leurs propriétés d'intrication en termes de propriétés de tenseurs réels. Cela nous permet d'identifier des états intriqués PPT à~$3$ qutrits, et également d'étendre certains résultats du cas qubit. Des exemples d'applications bosoniques indécomposables peuvent être construits à partir de polynômes positifs qui ne sont pas somme de carrés~; et des hiérarchies de sommes de carrés peuvent être utilisées pour approximer de tels témoins. |
In this thesis, we study the structure of entanglement and entanglement witnesses in symmetric bipartite and multipartite quantum states, by connecting them to various topics in real algebraic geometry, graph theory, tensor analysis, and polynomial optimization.
Firstly, we consider the entanglement properties of quantum states with cyclic sign invariance, and characterize the geometry of separable and PPT states in the bosonic subspace. This is done by studying the the circulant completely positive matrices and doubly non-negative matrices for $d=5$, with some progress towards $d=6$ and $d=7$; showing the rich geometrical structure of these states. A new class of quantum states was identified, where the PPT and separability can be characterized for all dimensions.
Secondly, we look at some constructions of PPT entangled states using non rank-1 generated matrices in the sets of doubly non-negative, correlation, and sparse PSD matrices.
Thirdly, we study the positivity property of DUC (Diagonal Unitary Covariant) quantum maps. After analysing some structural properties of the pairs of matrices that parametrize these maps, we present a new construction of positive indecomposable map using copositive matrices. We provide some explicit examples by constructing graph-based maps, and characterise decomposability and positivity properties in terms of the graph parameters. Bosonic extendibility of (mixture of) Dicke states was also analysed using SOS hierarchies for copositive matrices.
Finally, we analyse entanglement in multipartite mixture of Dicke states by translating their entanglement properties in terms of properties of real tensors. This allows us to identify PPT entangled states in $3$ qutrits, and also extend some results from the qubit case. Examples of bosonic indecomposable maps can be constructed from positive polynomials that are not sum of squares; and sum of square hierarchies can be used to approximate such witnesses. |