Cette thèse s’inscrit dans le cadre de la modélisation et de l’optimisation des circuits magnétiques destinés aux machines électriques. C’est un enjeu clé pour concevoir des actionneurs électromécaniques performants tout en réduisant leur volume. Une approche originale d’optimisation topologique reposant sur les méthodes intégrales de volume (VIM) appliquées à la magnétostatique est proposée, afin d’obtenir une précision élevée à coût numérique réduit et ce y compris pour des configurations 3D complexes.
La première partie rappelle les équations de la magnétostatique. La simulation numérique est ici essentielle pour modéliser les phénomènes électromagnétiques. En magnétostatique, l’approche par éléments finis est courante, mais elle peut s’avérer moins adaptée lorsque le domaine comporte de grands volumes d’air (calculs CEM, par exemple). Les VIM offrent une alternative efficace, car l’air n’a pas besoin d’être maillé. Deux formulations intégrales sont détaillées et comparées : la méthode des moments magnétiques et la formulation en potentiel scalaire. Des validations sur des cas tests 3D démontrent leur robustesse et leur aptitude à traiter diverses géométries.
La deuxième partie introduit l’optimisation topologique, qui vise à déterminer la répartition optimale du matériau ferromagnétique. L’optimisation retenue repose sur une descente de gradient et sur la méthode adjointe combinée à la méthode SIMP. Alors que la littérature s’appuie souvent sur les éléments finis, la présente thèse met en œuvre la méthode adjointe directement avec des VIM – en particulier la méthode des moments magnétiques et la formulation en potentiel scalaire – pour des géométries 3D. Le problème consiste à trouver la meilleure répartition du fer tout en maintenant le champ requis. Dans les simulations tridimensionnelles classiques, l’utilisation de maillages grossiers limite la précision des résultats. Or, un raffinement du maillage pour obtenir des solutions plus précises conduit à un coût computationnel très élevé. Pour surmonter cette limitation, des approches tensorielles de type Tensor Train sont employées, permettant de résoudre efficacement des problèmes 3D de grande taille tout en conservant une grande précision.
Le modèle intègre également la non-linéarité des matériaux ferromagnétiques, indispensable pour représenter fidèlement leur comportement. Les méthodes du point fixe et de Newton–Raphson sont adaptées aux VIM, comparées en termes de convergence et validées sur des exemples 3D.
Enfin, l’optimisation topologique est étendue aux structures non linéaires, en combinant la méthode des moments magnétiques, l’état adjoint et le calcul de gradient pour concevoir des circuits tridimensionnels complexes. Des validations numériques confirment la pertinence des modèles et la robustesse de la stratégie d’optimisation.
En conclusion, ces travaux montrent que l’optimisation topologique basée sur la méthode adjointe et les VIM constitue une alternative innovante pour la conception de dispositifs électromagnétiques 3D, avec un potentiel d’extension à des phénomènes multiphysiques plus complexes. |
This thesis focuses on the modelling and optimization of magnetic circuits for electric machines, which is a key challenge for designing high-performance electromechanical actuators while reducing their volume. An original approach to topology optimization based on Volume Integral Methods (VIM) applied to magnetostatics is proposed, aiming to achieve high accuracy at a reduced computational cost, including for complex 3D configurations.
The first part recalls the fundamental equations of magnetostatics. Numerical simulation is essential for accurately modelling electromagnetic phenomena. In magnetostatics, the finite element method (FEM) is commonly used, but it can be less suitable when the domain contains large air regions (e.g., electromagnetic compatibility calculations). VIM offer an effective alternative since the air does not need to be meshed. Two integral formulations are detailed and compared: the Magnetic Moments Method and the Scalar Potential Formulation. Validations on 3D test cases demonstrate their robustness and ability to handle various geometries.
The second part introduces topology optimization, which aims to determine the optimal distribution of ferromagnetic material. The chosen optimization relies on gradient-based methods combined with the adjoint method and the SIMP approach. While the literature often relies on FEM, this thesis implements the adjoint method directly with VIM—particularly the Magnetic Moments Method and the Scalar Potential Formulation—for 3D geometries. The goal is to find the optimal iron distribution while maintaining the required magnetic field. In classical 3D simulations, coarse meshes limit the accuracy of the results, while mesh refinement to improve precision leads to a very high computational cost. To overcome this limitation, tensor-based approaches such as Tensor Train are employed, allowing the efficient solution of large-scale 3D problems while maintaining high accuracy.
The model also incorporates the nonlinearity of ferromagnetic materials, which is essential to accurately represent their behaviour. Fixed-point and Newton–Raphson methods are adapted to VIM, compared in terms of convergence, and validated on 3D examples.
Finally, topology optimization is extended to nonlinear structures, combining the Magnetic Moments Method, the adjoint state, and gradient computation to design complex 3D magnetic circuits. Numerical validations confirm the relevance of the models and the robustness of the optimization strategy.
In conclusion, this work demonstrates that topology optimization based on the adjoint method and VIM provides an innovative alternative for the design of 3D electromagnetic devices, with potential extensions to more complex multiphysics phenomena. |