Cette thèse étudie les théorèmes limite pour les trajectoires quantiques et l'analyticité de la fonction pression pour des produits aléatoires de matrice.
Les trajectoires quantiques sont des chaînes de Markov modélisant l'état d'un système quantique soumis à des mesures indirectes répétées. On étudie le comportement long de ces chaînes de Markov en étudiant les propriétés spectrales de l'opérateur de Markov associé. Plus précisément, on montre que celui-ci est quasi-compact, ce qui implique l'existence d'un trou spectral. En perturbant analytiquement cet opérateur, la propriété de quasi-compacité est conservée ce qui permet d'obtenir un théorème central limite, des bornes de Berry-Eessen et un principe de grande déviation.
Nous montrons également dans cette thèse que la fonction pression pour un produit de matrices est analytique sous des conditions de contractivité et d'irréductibilité. L'étude s'appuie à nouveau sur la quasi-compacité d'opérateurs de Markov. Nous montrons également un principe variationnel pour la pression.
La thèse possède trois chapitres introductifs. Le premier porte sur la quasi-compacité, le second introduit le formalisme des trajectoires quantiques et leur lien avec les produits de matrice et le troisième introduit des éléments de mécanique statistique pour inroduire la pression. Le chapitre 4 a pour but de présenter les théorèmes limite obtenus pour les trajectoires quantiques et le chapitre 5 la preuve de l'analyticité de la pression. |
This thesis investigates limit theorems for quantum trajectories and the analyticity of the pressure function for random matrix products.
Quantum trajectories are Markov chains that model the state of a quantum system undergoing repeated indirect measurements. The long-term behavior of these Markov chains is studied through the spectral properties of the associated Markov operator. More precisely, we show that this operator is quasi-compact, which implies the existence of a spectral gap. By analytically perturbing this operator, the quasi-compactness property is preserved, allowing us to derive a central limit theorem, Berry–Esseen bounds, and a large deviation principle.
We also show in this thesis that the pressure function for matrix products is analytic under suitable contractivity and irreducibility conditions. This analysis also relies on the quasi-compactness of certain Markov operators. In addition, we establish a variational principle for the pressure.
The thesis contains three introductory chapters. The first discusses quasi-compactness; the second introduces the formalism of quantum trajectories and their connection to matrix products; and the third provides elements of statistical mechanics to introduce the notion of pressure. Chapter 4 presents the limit theorems obtained for quantum trajectories, and Chapter 5 contains the proof of the analyticity of the pressure. |